Question

【题目】已知数列与满足：，且为正项等比数列，，.

（1）求数列与的通项公式；

（2）若数列满足，为数列的前项和，证明：.

Answer 1

【答案】（1），；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由a1+a2+a3+…+an＝2bn①，n≥2时，a1+a2+a3+…+an﹣1＝2bn﹣1②，①﹣②可得：an＝2（bn﹣bn﹣1）（n≥2），{an}公比为q，求出an，然后求解bn；（2）化简（n∈N*），利用裂项消项法求解数列的和即可．

（1）由a1+a2+a3+…+an＝2bn①

n≥2时，a1+a2+a3+…+an﹣1＝2bn﹣1②

①﹣②可得：an＝2（bn﹣bn﹣1）（n≥2），

∴a3＝2（b3﹣b2）＝8

∵a1＝2，an＞0，设{an}公比为q，

∴a1q2＝8，∴q＝2

∴an＝2×2n﹣1＝2n

∴，

∴bn＝2n﹣1．

（2）证明：由已知：．

∴