题目内容
【题目】已知函数
，
．
（1）求
在点
处的切线；
（2）研究函数的单调性，并求出极值；
（3）求证：
．
【答案】（1）
； （2）
在
上单调递减，在
上单调递增；极小值为
，无极大值. （3）见解析.
【解析】
（1）对求导得
，
，切线方程为. （2）由
，得
，令
得增区间，研究单调性和极值.
（3）欲证
，即证明
，即证：
，令
，
，研究的单调性，证明
；
研究的单调性，证明
，
两式相加解得结果.
解：（1）的定义域为
，对求导得，
所以，又
，
所以在点
处的切线方程为．
（2）由，得．
当
时，
；当
时，．
所以在上单调递减，在上单调递增．
的极小值为
，无极大值．
（3）令，，则
，
，且当
时，
；
当
时，
．
所以
，当且仅当
时等号成立．
即
①
所以
在单调递增，所以
，
即
②
所以①+②得
，所以恒成立．
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