Question

【题目】已知椭圆的离心率为，点为其左顶点，点的坐标为，过点作直线与椭圆交于两点，当垂直于轴时，.

（1）求该椭圆的方程；

（2）设直线，分别交直线于点，，线段的中点为，设直线与的斜率分别为，，且，求证：为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）由椭圆的离心率为，求得，设椭圆方程为，代入点，求得，即可得到椭圆的方程；

（2）设直线的方程为，联立方程组，求得，进而得到， ，及的中点为，再结合斜率公式，即可求解.

（1）由题意，椭圆的离心率为，即，

解得，又由，所以，

设椭圆方程为，

又由椭圆过点，代入可得，解得，所以，

所求椭圆方程为.

（2）设，，直线的方程为，

联立方程组，整理得，

所以，，

直线的方程为，可得，

同理可得，所以的中点为，

所以的斜率

，

所以.