题目内容
(本小题12分)定义:若函数f(x)对于其定义域内的某一数x0,有f(x0)= x0,则称x0是f(x)的一个不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0).
(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;
(2)若对任意的实数b,函数f(x)恒有两个不动点,求a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若y=f(x)图象上两个点A、B的横坐标是函数f(x)的不动点,且A、B两点关于直线y=kx+对称,求b的最小值.
(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;
(2)若对任意的实数b,函数f(x)恒有两个不动点,求a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若y=f(x)图象上两个点A、B的横坐标是函数f(x)的不动点,且A、B两点关于直线y=kx+对称,求b的最小值.
(1)-1或3;(2)0<a<1;(3)bmin=-1
(1)f(x)=x2-x-3,由x2-x-3=x,解得 x=3或-1,
所以所求的不动点为-1或3. ………………………3分
(2)令ax2+(b+1)x+b-1=x,则ax2+bx+b-1="0 " ①
由题意,方程①恒有两个不等实根,所以△=b2-4a(b-1)>0,
即b2-4ab+4a>0恒成立,………………………………5分
则△¢=16a2-16a<0,故0<a<1 …………………………7分
(3)设A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2),则kAB=1,∴k=﹣1,
所以y=-x+, ……………………………………8分
又AB的中点在该直线上,所以=﹣+,
∴x1+x2=,
而x1、x2应是方程①的两个根,所以x1+x2=﹣,即﹣=,
∴b=﹣ …………………………………………10分
=-=-
∴当 a=∈(0,1)时,bmin="-1 " .………………………………12分
所以所求的不动点为-1或3. ………………………3分
(2)令ax2+(b+1)x+b-1=x,则ax2+bx+b-1="0 " ①
由题意,方程①恒有两个不等实根,所以△=b2-4a(b-1)>0,
即b2-4ab+4a>0恒成立,………………………………5分
则△¢=16a2-16a<0,故0<a<1 …………………………7分
(3)设A(x1,x1),B(x2,x2)(x1≠x2),则kAB=1,∴k=﹣1,
所以y=-x+, ……………………………………8分
又AB的中点在该直线上,所以=﹣+,
∴x1+x2=,
而x1、x2应是方程①的两个根,所以x1+x2=﹣,即﹣=,
∴b=﹣ …………………………………………10分
=-=-
∴当 a=∈(0,1)时,bmin="-1 " .………………………………12分
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