Question

【题目】已知函数f（x）= +3lnax﹣x，g（x）=xex+cosx（a≠0）．
（1）求函数y=f（x）的单调区间；
（2）若x1∈[1，2]，x2∈[0，3]，使得f（ ）＞g（x2）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题知，a＞0时，x＞0；a＜0时，x＜0，

∵ ，

令f'（x）＞0，解得1＜x＜2；令f'（x）＜0，解得x＜1，或x＞2，

故当a＞0时，f（x）在（1，2）上为增函数，在（0，1）、（2，+∞）上为减函数；

a＜0时，f（x）在（﹣∞，0）上为减函数．

（2）解：x1∈[1，2]，x2∈[0，3]，

使得f（x1）＞g（x2）成立，

f（x）在[1，2]上的最大值大于g（x）在[0，3]的最小值，

由（Ⅰ）知，a＞0，且f（x）max=f（2）=3ln2a﹣1，

又g'（x）=ex+xex﹣sinx＞0在[0，3]恒成立，即g（x）在[0，3]上单调递增，

有g（x）min=g（0）=1，

故依题得3ln2a﹣1＞1，

解得： ．

【解析】（1）求出f（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为f（x）在[1，2]上的最大值大于g（x）在[0，3]的最小值，分别求出其最大值和最小值得到关于a的不等式，解出即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值．