题目内容
【题目】函数
，其中常数
.
（1）求
的最小值；
（2）若
，讨论
的零点的个数.
【答案】（1）-1（2）见解析
【解析】
(1) 导数为
，研究单调性即可得到
的最小值；
(2)
在其定义域
上的导数是
，对a分类讨论，数形结合即可明确的零点的个数.
解：（1）
在定义域上的导数为.
所以当
时，
；当
时，
.
所以
的单调递减区间是
，单调增区间是
.
所以的最小值是
.
（2）在其定义域上的导数是
①当
时，由（1）可得
在上是增函数，此时由
，可得函数有唯一的零点.
②当
时，
并且对于负数
，有
又因为
，所以
，即
所以在区间
上存在负数
，使得
，则在
上
是增函数；在区间
上
是减函数.则
.所以在上，有且仅有
个零点；
在区间上，
并且
是增函数.
所以存在正数
，使得在
上，是减函数；在
上，是增函数.于是有
所以在上，恰有唯一的零点.
所以当时，在上恰有三个不同的零点.
综上所述，当时，有唯一的零点；当时，有三个不同的零点.
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学生编号 |
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