题目内容
【题目】函数,其中常数
.
(1)求的最小值;
(2)若,讨论
的零点的个数.
【答案】(1)-1(2)见解析
【解析】
(1) 导数为,研究单调性即可得到
的最小值;
(2)在其定义域
上的导数是
,对a分类讨论,数形结合即可明确
的零点的个数.
解:(1)在定义域
上的导数为
.
所以当时,
;当
时,
.
所以的单调递减区间是
,单调增区间是
.
所以的最小值是
.
(2)在其定义域
上的导数是
①当时,由(1)可得
在
上是增函数,此时由
,可得函数
有唯一的零点.
②当时,
并且对于负数,有
又因为,所以
,即
所以在区间上存在负数
,使得
,则在
上
是增函数;在区间
上
是减函数.则
.所以在
上,
有且仅有
个零点;
在区间上,
并且
是增函数.
所以存在正数,使得在
上,
是减函数;在
上,
是增函数.于是有
所以在上,
恰有唯一的零点.
所以当时,
在
上恰有三个不同的零点.
综上所述,当时,
有唯一的零点;当
时,
有三个不同的零点.
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学生编号 | ||||||||||
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