Question

【题目】如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，N为AD的中点．

（1）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；

（2）点M在线段PC上且满足，直线MN与平面PBC所成角的正弦值为，求实数的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

以为空间坐标原点建立空间直角坐标系.

（1）利用向量法计算出异面直线与所成角的余弦值.

（2）由求得，结合平面的法向量，利用直线与平面所成角的正弦值列方程，解方程求得的值.

（1）因为平面，平面，所以，又因为，所以两两垂直.以为空间坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.由，为的中点，得，.所以，设异面直线与所称的角的大小为，则.所以异面直线与所成角的余弦值为.

（2）设平面的法向量，因为，由得，取，得，所以.

因为，所以，所以.依题意，化简得，解得或，由于在线段上，所以.