题目内容

【题目】过点的椭圆的离心率为,椭圆与轴交于两点,过点的直线与椭圆交于另一点,并与轴交于点,直线与直线交于点.

(1)求该椭圆的标准方程;

(2)当点异于点时,求证:为定值.

【答案】1;(2)证明见解析.

【解析】

1)先求出椭圆方程,当直线过椭圆右焦点时,写出直线的方程,并和椭圆联立方程,求得点的坐标,根据两点间距离公式即可求得线段的长;(2)设出直线的方程,并和椭圆联立方程,求得点的坐标,并求出点坐标,写出直线与直线的方程,并解此方程组,求得点的坐标,代入即可证明结论.

1)由已知得,得

椭圆的方程为

椭圆的右焦点为

此时直线的方程为

,解得

2)当直线轴垂直时与题意不符,所以直线轴不垂直,即直线的斜率存在,

设直线的方程为

代入椭圆的方程,化简得,解得

代入直线的方程,得

所以,的坐标为

又直线的方程为,直线方程为

联立解得,即

的坐标为

为定值.

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