题目内容
【题目】过点的椭圆
的离心率为
,椭圆与
轴交于两点
、
,过点
的直线
与椭圆交于另一点
,并与
轴交于点
,直线
与直线
交于点
.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)当点异于点
时,求证:
为定值.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)先求出椭圆方程,当直线过椭圆右焦点时,写出直线
的方程,并和椭圆联立方程,求得点
的坐标,根据两点间距离公式即可求得线段
的长;(2)设出直线
的方程,并和椭圆联立方程,求得点
的坐标,并求出点
坐标,写出直线
与直线
的方程,并解此方程组,求得
点的坐标,代入
即可证明结论.
(1)由已知得,得
,
椭圆的方程为
,
椭圆的右焦点为,
此时直线的方程为
,
由,解得
,
;
(2)当直线与
轴垂直时与题意不符,所以直线
与
轴不垂直,即直线的斜率存在,
设直线的方程为
代入椭圆的方程,化简得,解得
,
代入直线的方程,得
,
所以,的坐标为
,
又直线的方程为
,直线
方程为
,
联立解得,即
,
而的坐标为
,
,
即为定值.
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