题目内容
【题目】过点的椭圆的离心率为,椭圆与轴交于两点、,过点的直线与椭圆交于另一点,并与轴交于点,直线与直线交于点.
(1)求该椭圆的标准方程;
(2)当点异于点时,求证:为定值.
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
(1)先求出椭圆方程,当直线过椭圆右焦点时,写出直线的方程,并和椭圆联立方程,求得点的坐标,根据两点间距离公式即可求得线段的长;(2)设出直线的方程,并和椭圆联立方程,求得点的坐标,并求出点坐标,写出直线与直线的方程,并解此方程组,求得点的坐标,代入即可证明结论.
(1)由已知得,得,
椭圆的方程为,
椭圆的右焦点为,
此时直线的方程为,
由,解得,
;
(2)当直线与轴垂直时与题意不符,所以直线与轴不垂直,即直线的斜率存在,
设直线的方程为
代入椭圆的方程,化简得,解得,
代入直线的方程,得,
所以,的坐标为,
又直线的方程为,直线方程为,
联立解得,即,
而的坐标为,
,
即为定值.