题目内容
【题目】已知函数f(x)定义在区间(﹣1,1)内,对于任意的x,y∈(﹣1,1)有f(x)+f(y)=f( ),且当x<0时,f(x)>0.
(1)判断这样的函数是否具有奇偶性和单调性,并加以证明;
(2)若f(﹣ )=1,求方程f(x)+
=0的解.
【答案】
(1)解:令x=y=0,则f(0)=0,令y=﹣x,则f(x)+f(﹣x)=0,
即f(﹣x)=﹣f(x),即函数f(x)为奇函数.
任取x1,x2∈(﹣1,1),且x1<x2,则f(x1)﹣f(x2)=f(x1)+f(﹣x2)=f( ).
﹣1<x1<x2<1,可得﹣1<x1x2<,则 <10,则f(
)>0,
即f(x1)>f(x2).则f(x)在区间(﹣1,1)内是减函数
(2)解:f(x)为奇函数,则f( )=﹣1,
又2f(x)=f(x)+f(x)=f( ),且f(x)+
=0,
即2f(x)+1=0,2f(x)=﹣1.则f( )=f(
).
f(x)在区间(﹣1,1)内是单调函数,
可得 =
.
即x=2﹣ 或x=2+
(舍).
故方程的解为2﹣
【解析】(1)分别令x=y=0,求得f(0)=0,令y=﹣x,结合奇偶性定义即可判断;再由单调性的定义,即可得到f(x)在区间(﹣1,1)内是减函数;(2)运用奇函数的定义,可令y=x,结合单调性,可得方程 =
,即可得到方程的解.
【考点精析】认真审题,首先需要了解函数单调性的判断方法(单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较),还要掌握函数的奇偶性(偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称)的相关知识才是答题的关键.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目