题目内容
【题目】已知函数是定义在区间
上的奇函数,且
若对于任意的
有
(1)判断并证明函数的单调性;
(2)解不等式;
(3)若对于任意的
,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1)增函数(2)(3)
【解析】试题分析; 1)设 ,由已知可得
,分
,及
两种情况可知
与
的大小,借助单调性的定义可得结论;
(2)利用函数单调性可得去掉不等式中的符号 ,转化为具体不等式,再考虑到函数定义域可得不等式组,解出即可;
(3)要使得对于任意的x∈[-1,1],a∈[-1,1]都有f(x)≤-2at+2恒成立,只需对任意的a∈[-1,1]时-2at+2≥f(x)max,整理后化为关于a的一次函数可得不等式组;
试题解析;(1)函数在区间
上是增函数:
证明:由题意可知,对于任意的有
,
可设,则
,即
,
当时,
,
∴函数在区间
上是增函数;
当时,
,∴函数
在区间
上是增函数;
综上:函数在区间
上是增函数.
(2)由(1)知函数在区间
上是增函数,
又由,
得,解得
,
∴不等式的解集为
;
∵函数在区间
上是增函数,且
,
要使得对于任意的x∈[﹣1,1],a∈[﹣1,1]都有f(x)≤﹣2at+2恒成立,
只需对任意的a∈[﹣1,1]时,即
﹣恒成立,
令,此时
可以看做
的一次函数,且在a∈[﹣1,1]时y≥0恒成立,
因此只需要,解得
,
∴实数t的取值范围为: .
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