题目内容

20.△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的所对边的长,若acosB=1,bsinA=$\sqrt{2}$,且A-B=$\frac{π}{4}$.
(1)求a的值;
(2)求tanA的值.

分析 (1)由正弦定理可知bsinA=asinB,进而利用acosB=1,相加即可求得a.
(2)根据第一问先求得tanB的值,进而求得A和B的关系,利用正切的两角和公式求得答案.

解答 解:(1)由正弦定理知,bsinA=asinB=$\sqrt{2}$,①,
又acosB=1,②
①,②两式平方相加,得(asinB)2+(acosB)2=3,
因为sin2B+cos2B=1,
所以a=$\sqrt{3}$(负值已舍);
(2)①,②两式相除,得$\frac{sinB}{cosB}$=$\sqrt{2}$,即tanB=$\sqrt{2}$,
因为A-B=$\frac{π}{4}$,
∴A=B+$\frac{π}{4}$,
∴tanA=tan(B+$\frac{π}{4}$)=$\frac{tanB+tanA}{1-tanBtanA}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}$=--3-2$\sqrt{2}$

点评 本题主要考查了正弦定理的应用.解题过程中边角问题是解决三角形问题的关键.

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