题目内容

(本题满分18分,第(1)小题4分,第(2)小题8分,第(3)小题6分)
已知双曲线的一个焦点是,且
(1)求双曲线的方程;
(2)设经过焦点的直线的一个法向量为,当直线与双曲线的右支相交于不同的两点时,求实数的取值范围;并证明中点在曲线上.
(3)设(2)中直线与双曲线的右支相交于两点,问是否存在实数,使得为锐角?若存在,请求出的范围;若不存在,请说明理由.
(1)
(2),证明见解析
(3)不存在
(本题满分18分,第(1)小题4分,第(2)小题8分,第(3)小题6分)
解:(1)        
所以:双曲线……4分
(2)


恒成立……6分
       
……8分
,则  
……10分
……12分
(3)设 设存在实数,使为锐角,
 ……14分
因为
……16分
  即 
,与矛盾   不存在……18分
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