题目内容
【题目】已知抛物线
的焦点为
，过点，斜率为1的直线与抛物线
交于点
，
，且
.
（1）求抛物线的方程；
（2）过点
作直线交抛物线于不同于
的两点
、
，若直线
，
分别交直线
于
两点，求
取最小值时直线
的方程.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）直曲联立表示出抛物线弦长
，得到关于
的方程，求出，得到抛物线的方程.
（2）直线
与抛物线联立，得到
、
，再根据题意，得到
点和
点的坐标，用
和
表示出
，代入、的关系，得到函数，求出最小值.从而得到直线的方程.
（1）
，直线
的方程为
，
由
，联立，
得
，
，
，
，
抛物线的方程为：.
（2）设
，
，直线的方程为：
，
联立方程组
消元得：
，
∴
，
.
∴
.
设直线
的方程为
，
联立方程组
解得
，
又
，∴
.
同理得
.
∴
.
令
，
，则
.
∴
.
∴当
即
时，
取得最小值.
此时直线的方程为
，即
.
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