题目内容
【题目】如图,椭圆,抛物线,过上一点异于原点作的切线l交于A,B两点,切线l交x轴于点Q.
若点P的横坐标为1,且,求p的值.
求的面积的最大值,并求证当面积取最大值时,对任意的,直线l均与一个定椭圆相切.
【答案】(1)6;(2),证明见解析.
【解析】
不妨设计算出AQ,BQ的长度代入条件计算出p值;
设则令,则l:表示出的面积,求出其最大值,验证直线l与椭圆相切;
解:点,由对称性不妨设.
于是,于是所以点Q是的左焦点.
设焦准距为.
类比抛物线的焦半径算法可得.
于是,于是,所以.
设于是l:.
于是令,则l:.
联立.
设,.
.
当且仅当取等,且满足所以的面积的最大值为.
注意到即为这个等式类似于;
于是猜想椭圆联立
得:;
;
故当面积取最大值时,直线l均与一个定椭圆相切.
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