Question

【题目】如图，在几何体中，平面底面ABC，四边形是正方形，，Q是的中点，且，．

求证：平面；

求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）连接，交于点，连接，则四边形是正方形，点是的中点，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面．

（2）以为原点，，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的平面角的余弦值．

证明：（1）如图所示，连接，交于点，连接．

因为四边形是正方形，所以点是的中点，

又已知点是的中点，所以，且，

又因为，且，所以，且，

所以四边形是平行四边形，故，

因平面，平面，

故平面．

（2）如图所示，以为原点，分别为轴和轴建立空间直角坐标系，

不妨设，

则，，，，

所以，．

设平面的法向量为，

则 即，取，则

平面的一个法向量，所以．

故二面角的平面角的余弦值为．