题目内容
12.已知结论:“在△ABC中,各边和它所对角的正弦比相等,即$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}=\frac{c}{sinC}$”,若把该结论推广到空间,则有结论:“在三棱锥A-BCD中,侧棱AB与平面ACD、平面BCD所成的角为α、β,则有( )”A. | $\frac{BC}{sinα}=\frac{AD}{sinβ}$ | B. | $\frac{AD}{sinα}=\frac{BC}{sinβ}$ | ||
C. | $\frac{{{S_{△BCD}}}}{sinα}=\frac{{{S_{△ACD}}}}{sinβ}$ | D. | $\frac{{{S_{△ACD}}}}{sinα}=\frac{{{S_{△BCD}}}}{sinβ}$ |
分析 分别过B、A作平面ACD、平面BCD的垂线,垂足分别为E、F,则∠BAE=α,∠ABF=β,利用三棱锥的体积计算公式、类比正弦定理即可得出.
解答 解:分别过B、A作平面ACD、平面BCD的垂线,垂足分别为E、F,则∠BAE=α,∠ABF=β,
${V_{B-ACD}}=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•BE=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•AB•sinα$,${V_{A-BCD}}=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•AF=\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•AB•sinβ$,
又$\frac{1}{3}{S_{△ACD}}•AB•sinα=\frac{1}{3}{S_{△BCD}}•AB•sinβ$,
即$\frac{{{S_{△BCD}}}}{sinα}=\frac{{{S_{△ACD}}}}{sinβ}$.
故选:C.
点评 本题考查了三棱锥的体积计算公式、类比推力,属于基础题.
练习册系列答案
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