题目内容

7.已知平面上的动点P(x,y)及两定点M(-2,0)、N(2,0),直线PM、PN的斜率之积为定值$-\frac{3}{4}$,设动点P的轨迹为曲线C.
(Ⅰ)求曲线C的方程;
(Ⅱ)设Q(x0,y0)(y0>0)是曲线C上一动点,过Q作两条直线l1,l2分别交曲线C于A,B两点,直线l1与l2的斜率互为相反数.试问:直线AB的斜率与曲线C在Q点处的切线的斜率之和是否为定值,若是,求出该定值;若不是,请说明理由.

分析 (Ⅰ)运用直线的斜率公式,化简整理可得曲线的方程;
(Ⅱ)设直线l1的斜率为k,则直线l2的斜率为-k,设l1:y-y0=k(x-x0),代入椭圆方程,运用韦达定理,可得A的横坐标,同理可得B的横坐标,由直线的斜率公式可得AB的斜率,再由椭圆上一点的切线的斜率,即可得到定值0.

解答 解:(Ⅰ)由题意可得x≠±2,kPM=$\frac{y}{x+2}$,kPN=$\frac{y}{x-2}$,
由题意可得$\frac{y}{x+2}$•$\frac{y}{x-2}$=-$\frac{3}{4}$,
化简可得曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1(y≠0);
(Ⅱ)设直线l1的斜率为k,则直线l2的斜率为-k,
设l1:y-y0=k(x-x0),代入椭圆方程可得
(3+4k2)x2+8k(y0-kx0)x+4(kx0-y02-12=0,
x0xA=$\frac{4(k{x}_{0}-{y}_{0})^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$,可得xA=$\frac{4(k{x}_{0}-{y}_{0})^{2}-12}{(3+4{k}^{2}){x}_{0}}$,
同理可得xB=$\frac{4(k{x}_{0}+{y}_{0})^{2}-12}{(3+4{k}^{2}){x}_{0}}$,
又3x02+4y02=12,
kAB=$\frac{{y}_{A}-{y}_{B}}{{x}_{A}-{x}_{B}}$=$\frac{k({x}_{A}-{x}_{0})+k({x}_{B}-{x}_{0})}{{x}_{A}-{x}_{B}}$=$\frac{k[({x}_{A}+{x}_{B})-2{x}_{0}]}{{x}_{A}-{x}_{B}}$,
代入A,B的横坐标,可得kAB=$\frac{k(4{{y}_{0}}^{2}-12-3{{x}_{0}}^{2})}{-8k{x}_{0}{y}_{0}}$=$\frac{k(-3{{x}_{0}}^{2}-3{{x}_{0}}^{2})}{-8k{x}_{0}{y}_{0}}$=$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$,
对$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1(y≠0)两边对x求导,可得$\frac{1}{2}$x+$\frac{2}{3}$y•y′=0,
可得曲线在Q点处的切线的斜率为-$\frac{3{x}_{0}}{4{y}_{0}}$,
即有直线AB的斜率与曲线C在Q点处的切线的斜率之和为定值,且为0.

点评 本题考查轨迹方程的求法,同时考查椭圆的方程和直线方程联立,运用韦达定理,同时考查直线的斜率公式和导数的运用:求切线的斜率,考查运算能力,属于中档题.

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