题目内容
10.直线x+my+1=0与不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3≥0}\\{2x-y≥0}\\{x-2≤0}\end{array}\right.$表示的平面区域有公共点,则实数m的取值范围是( )A. | [$\frac{1}{3}$,$\frac{4}{3}$] | B. | [-$\frac{4}{3}$,-$\frac{1}{3}$] | C. | [$\frac{3}{4}$,3] | D. | [-3,-$\frac{3}{4}$] |
分析 作出不等式组对应的平面区域,利用线性规划的知识即可得到结论.
解答 解:即直线x+my+1=0过定点D(-1,0)
作出不等式组对应的平面区域如图:
当m=0时,直线为x=-1,此时直线和平面区域没有公共点,
故m≠0,x+my+1=0的斜截式方程为y=$-\frac{1}{m}$x$-\frac{1}{m}$,
斜率k=$-\frac{1}{m}$,
要使直线和平面区域有公共点,则直线x+my+1=0的斜率k>0,
即k=$-\frac{1}{m}$>0,即m<0,满足kCD≤k<kAB,
此时AB的斜率kAB=2,
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y-3=0}\\{x-2=0}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$,即C(2,1),
CD的斜率kCD=$\frac{0-1}{-1-2}$=$\frac{1}{3}$,
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y=0}\\{x-2=0}\end{array}\right.$,解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$,即A(2,4),
AD的斜率kAD=$\frac{4-0}{2-(-1)}$=$\frac{4}{3}$,
即$\frac{4}{3}$≤k≤$\frac{1}{3}$,
则$\frac{4}{3}$≤$-\frac{1}{m}$≤$\frac{1}{3}$,
解得-3≤m≤-$\frac{3}{4}$,
故选:D.
点评 本题主要考查线性规划以及斜率的应用,利用数形结合是解决本题的关键.
A. | $\frac{BC}{sinα}=\frac{AD}{sinβ}$ | B. | $\frac{AD}{sinα}=\frac{BC}{sinβ}$ | ||
C. | $\frac{{{S_{△BCD}}}}{sinα}=\frac{{{S_{△ACD}}}}{sinβ}$ | D. | $\frac{{{S_{△ACD}}}}{sinα}=\frac{{{S_{△BCD}}}}{sinβ}$ |