题目内容
3.如图,在△ABC中,B(-1,0),C(1,0),CD、BE分别是△ABC的两条中线且相交于点G,且|CD|+|BE|=6.(Ⅰ)求点G的轨迹Γ的方程;
(Ⅱ)直线l:y=x-1与轨迹Γ相交于M、N两点,P为轨迹Γ的动点,求△PMN面积的最大值.
分析 (Ⅰ)设BE与CD交于G点,则G为△ABC的重心,$BG=\frac{2}{3}BE,CG=\frac{2}{3}CD$,根据椭圆定理为椭圆方程.
(Ⅱ)设直线y=x+b,当直线与椭圆相切时,切点即为P,此时三角形面积最大$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=x+b\end{array}\right.,7{x^2}+8bx+4{b^2}-12=0$,因为相切,故△=0.列式求得面积最大值,并求得该值.
解答 解:(Ⅰ)设BE与CD交于G点,则G为△ABC的重心,$BG=\frac{2}{3}BE,CG=\frac{2}{3}CD$…(2分)
由于|CD|+|BE|=6,则BG+CG=4,根据椭圆的定义,故G是以B,C为焦点,长轴长为4的椭圆(除x轴上点外),$a=2,c=1,b=\sqrt{3}$…(4分)
即G满足的轨迹方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1(y≠0)$…(6分)
(Ⅱ)设M(x1,y1),N(x2,y2),由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=x-1\end{array}\right.$得到7x2-8x-8=0,得到${x_1}+{x_2}=\frac{8}{7},{x_1}{x_2}=-\frac{8}{7}$…(8分)
$MN=\sqrt{1+1}\sqrt{{{({x_1}+{x_2})}^2}-4{x_1}{x_2}}=\frac{24}{7}$…(10分)
设直线y=x+b,当直线与椭圆相切时,切点即为P,此时三角形面积最大$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=x+b\end{array}\right.,7{x^2}+8bx+4{b^2}-12=0$,因为相切,故△=0
64b2-28(4b2-12)=0,b2=7,$b=\sqrt{7},b=-\sqrt{7}$(舍) …(12分)$x=-\frac{{4\sqrt{7}}}{7},y=\frac{{3\sqrt{7}}}{7},P(-\frac{{4\sqrt{7}}}{7},\frac{{3\sqrt{7}}}{7})$
h=|$\frac{-\frac{4\sqrt{7}}{7}-\frac{3\sqrt{7}}{7}-1}{\sqrt{2}}$|=$\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$…(14分)
${S_{max}}=\frac{1}{2}MN•h=\frac{1}{2}•\frac{24}{7}•\frac{{\sqrt{14}+\sqrt{2}}}{2}=\frac{{6(\sqrt{14}+\sqrt{2})}}{7}$…(15分)
备注:也可以用两平行线距离公式d=$\frac{|\sqrt{7}+1|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{14}+\sqrt{2}}{2}$
点评 本题主要考查了轨迹方程的求解方法和直线与圆锥曲线的综合问题,属于中档题.
A. | $\frac{BC}{sinα}=\frac{AD}{sinβ}$ | B. | $\frac{AD}{sinα}=\frac{BC}{sinβ}$ | ||
C. | $\frac{{{S_{△BCD}}}}{sinα}=\frac{{{S_{△ACD}}}}{sinβ}$ | D. | $\frac{{{S_{△ACD}}}}{sinα}=\frac{{{S_{△BCD}}}}{sinβ}$ |