Question

4．某同学对函数f（x）=xsinx进行研究后，得到以下结论：
①函数f（x）的图象是轴对称图形；
②存在实数x，使得|f（x）|＞|x|成立；
③函数f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，且任意相邻两点距离相等；
④当常数k满足|k|＞1时，函数f（x）的图象与直线y=x有且仅有一个公共点．
其中所有正确结论的序号是①④．

Answer 1

分析 ①易知f（-x）=f（x），f（x）是偶函数，从而可判断①的正误；
②由|sinx|≤1即可判断②的正误；
③当x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）或x=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z）时，sinx=1或-1，可判断故函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，但任意相邻两点的距离相等不相等，从而可判断③的正误；
④当常数k满足|k|＞1时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点为（0，0），从而可得答案

解答 解：①∵f（-x）=-xsin（-x）=f（x），
∴f（x）是偶函数，
∴函数y=f（x）的图象关于y轴对称，即y=f（x）的图象是轴对称图形，故①正确；
②∵|sinx|≤1，
∴对任意实数x，|f（x）|≤|x|均成立，故②错误；
③当x=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）或x=2kπ-$\frac{π}{2}$（k∈Z）时，sinx=1或-1，
故函数y=f（x）的图象与直线y=x有无穷多个公共点，但任意相邻两点的距离不相等（任意相邻两点的横坐标距离相等），故③错误；
④∵|f（x）|≤|x|，
∴当常数k满足|k|＞1时，函数y=f（x）的图象与直线y=kx有且仅有一个公共点（0，0），故④正确；
综上所述，所有正确结论的序号是①④，
故答案为：①④．

点评 本题考查三角函数的基本性质，牢记基本知识，基本性质是解好数学题目的关键，属于中档题．