Question

【题目】已知定义在R上的函数y=f（x），满足f（2）=0，函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）中心对称，且对任意的负数x1，x2（x1≠x2），恒成立，则不等式f（x）＜0的解集为____．

Answer 1

【答案】（-∞，-2）∪（0，2）

【解析】

根据条件判断函数f（x）是奇函数，结合不等式的性质，构造函数h（x）=x2107f（x），研究函数h（x）的奇偶性和取值情况，进行求解即可．

∵函数y=f（x+1）的图象关于点（-1，0）中心对称，

∴函数y=f（x）的图象关于点（0，0）中心对称，即函数f（x）是奇函数，

对对任意的负数x1，x2（x1≠x2），恒成立，

不妨设x1＜x2，则x12107f（x1）-x22107f（x2）＞0，

设h（x）=x2107f（x），则不等式等价为h（x1）＞h（x2），且函数h（x）是偶函数，

即h（x）在（-∞，0）上为减函数，∵f（2）=0，∴h（2）=22107f（2）=0，

则当x＞0时，不等式f（x）＜0等价为不等式x2107f（x）＜0，即h（x）＜0

当x＜0时，不等式f（x）＜0等价为不等式x2107f（x）＞0，即h（x）＞0，

当x＞0时，由h（x）＜0得0＜x＜2，

当x＜0时，由h（x）＞0得x＜-2，

即f（x）＜0的解集为（-∞，-2）∪（0，2），

故答案为：（-∞，-2）∪（0，2）．