题目内容
【题目】已知直角梯形
中， 
， 
， 
， 
、
分别是边
、
上的点，且
，沿
将
折起并连接成如图的多面体
，折后
．
（Ⅰ）求证： 
；
（Ⅱ）若折后直线
与平面
所成角
的正弦值是
，求证：平面
平面
．
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.
【解析】试题分析：（Ⅰ）由
， 
可得
平面
，从而
，结合
，根据线面垂直的判定定理可得； 
平面
，所以
；（Ⅱ）作
于
，连
，由（Ⅰ）知
，即
为
与平面
所成角，设
， 
，而直线
与平面
所成角的正弦值是
，即
，以
为轴建立坐标系，取
的中点
，先证明平面
的法向量是
，再利用向量垂直数量积为零可得平面
的法向量，根据空间向量夹角的余弦公式可得结果.
试题解析：（Ⅰ）∵
， 
，
∴
， 
，
又
， 
，
∴
平面
， 
，
又
， 
，
∴
平面
， 
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可如图建立空间直角坐标系，
作
于
，连
，由（Ⅰ）知
，
即
为
与平面
所成角，设
， 
，
而直线
与平面
所成角的正弦值是
，即
．
（或：平面
的法向量是
， 
， 
， 
，
则
）．
易知平面
平面
于
，取
的中点
，则
平面
，
而
，则平面
的法向量是
，
（或另法求出平面
的法向量是
），
再求出平面
的法向量
，
设二面角
是
，则
，
∴平面
平面
．
练习册系列答案
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【题目】某仪器经过检验合格才能出厂，初检合格率为
：若初检不合格，则需要进行调试，经调试后再次对其进行检验；若仍不合格，作为废品处理，再检合格率为
.每台仪器各项费用如表：
项目 | 生产成本 | 检验费/次 | 调试费 | 出厂价 |
金额（元） | 1000 | 100 | 200 | 3000 |
（Ⅰ）求每台仪器能出厂的概率；
（Ⅱ）求生产一台仪器所获得的利润为1600元的概率（注：利润
出厂价
生产成本
检验费
调试费）；
（Ⅲ）假设每台仪器是否合格相互独立，记
为生产两台仪器所获得的利润，求
的分布列和数学期望．
