Question

【题目】如图，在四棱锥中， 为等边三角形，平面平面， ， ， ， ， 为的中点．

（）求证： ．

（）求二面角的余弦值．

（）若平面，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）余弦为；（2）.

【解析】试题分析：（1）要证，可以先证明垂直于所在的平面；（2）可以用向量法解决，取的中点，连接，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面、平面的法向量，并求出法向量的夹角的余弦值，进而得到二面角的余弦值；（3）因为平面，只需，利用即可求出的值.

试题解析：（1）由于平面平面， 为等边三角形， 为的中点，则，根据面面垂直性质定理，所以平面，又平面，则．

（2）取的中点，连接，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，，由于平面与轴垂直，则设平面的法向量为，设平面的法向量，则，二面角的余弦值，由二面角为钝二面角，所以二面角的斜弦值为．

（3）有（1）知平面，则，若平面，只需，，又

，解得

或，由于，则．