题目内容
【题目】已知四棱锥中,平面
平面
,且
,
是等边三角形,
.
(1)证明: 平面
;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1) 见解析. (2) .
【解析】试题分析:(1)根据计算可得,根据面面垂直性质定理得
平面
,即得
,
根据等腰三角形性质得
,最后根据线面垂直判定定理得结论(2)先根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,列方程组解得各面法向量,根据向量数量积求两法向量夹角,最后根据二面角与向量夹角关系得结果
试题解析:(1)在中,
,所以
,
又是等边三角形,所以
,所以
,即
,
又因为平面平面
,平面
平面
,所以
平面
,故
.在
中,
.
所以.
又因为
,所以
平面
.
(2)解法一:如图,取的中点
,连接
.则在等腰
中,
.又因为平面
平面
,平面
平面
,所以
平面
.过点
作
的平行线
,则
平面
.
由(1)知,故以
为坐标原点
,以直线
分别作为
轴、
轴、
轴建立空间直角坐标系.设
,则在
中,
,
.
又在中,
,
所以,故
.
又因为是等边三角形,所以
.
所以,
,
,
,即
.
所以,
,
.
设平面的法向量为
,则由
,
得.
令,得
.故
为平面
的一个法向量.
因为平面
,故
为平面
的一个法向量.
故
.
设二面角为
,则由图可知
,
所以.
解法二:取的中点
,连接
,连接
并延长,交
于
,连接
.则在等腰
中,
.
又因为平面平面
,平面
平面
,
所以平面
.
设,则在
中,
.
又在中,
,
所以
,故
.
中,
,所以
,且
.
故,又
,且
,
所以,故
.
又因为平面
,由三垂线定理可得
,
所以为二面角
的平面角.
在中,
,所以
.
故.所以在
中,
,
故
∴二面角的余弦值为
.
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