Question

2．已知函数f（x）=$\frac{2}{x}$-x，对$?x∈[\frac{1}{3}，\frac{2}{3}]$，有f（1-x）≥$\frac{a}{f（x）}$恒成立，则实数a的取值范围为（-∞，$\frac{49}{4}$]．

Answer 1

分析 由f（x）=$\frac{2}{x}$-x为[$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$]上的减函数，可得对$?x∈[\frac{1}{3}，\frac{2}{3}]$，有f（x）＞0，把f（1-x）≥$\frac{a}{f（x）}$恒成立转化为a≤f（1-x）•f（x）对$?x∈[\frac{1}{3}，\frac{2}{3}]$恒成立，结合
x∈[$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$]，有1-x∈[$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$]，可得当f（1-x）=f（x），即$x=\frac{1}{2}$时，f（1-x）•f（x）取得最小值得答案．

解答 解：∵f（x）=$\frac{2}{x}$-x为[$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$]上的减函数，∴$f（x）_{min}=f（\frac{2}{3}）=\frac{2}{\frac{2}{3}}-\frac{2}{3}=\frac{7}{3}＞0$，
则f（1-x）≥$\frac{a}{f（x）}$恒成立转化为a≤f（1-x）•f（x）对$?x∈[\frac{1}{3}，\frac{2}{3}]$恒成立，
又x∈[$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$]，1-x∈[$\frac{1}{3}，\frac{2}{3}$]，
∴当f（1-x）=f（x），即$\frac{2}{1-x}-1+x=\frac{2}{x}-x$，也就是$x=\frac{1}{2}$时，
$[f（1-x）•f（x）]_{min}={f}^{2}（\frac{1}{2}）=（\frac{7}{2}）^{2}=\frac{49}{4}$．
∴a$≤\frac{49}{4}$．
∴实数a的取值范围为（-∞，$\frac{49}{4}$]．
故答案为：（-∞，$\frac{49}{4}$]．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查数学转化思想方法，解答此题的关键是明确当x=$\frac{1}{2}$时函数f（1-x）•f（x）取得最小值，属中高档题．