Question

12．等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，前n项和为S_n；{b_n}为等比数列，b₁=1，且b₂S₂=6，b₃S₃=24，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）令${C_n}=\frac{n}{b_n}+\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+2}}}}$，T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n；是否存在最小的实数t，使得$t＞{T_n}+\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$恒成立，若存在，请求出最小的实数t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过已知条件可知a_n=1+（n-1）d、b_n=q^n-1，利用b₂S₂=6、b₃S₃=24计算可求出公差、公比，进而可得结论；
（II）通过（I）、裂项知C_n=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），利用错位相减法可知$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{i}{{2}^{i-1}}$=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，利用并项相加法可知$\sum_{i=1}^{n}$（$\frac{1}{i}$-$\frac{1}{i+2}$）=$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{（n+1）（n+2）}$，进而可知T_n+$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$=$\frac{19}{4}$-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，通过作差可知f（n）=$\frac{19}{4}$-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$在定义域内单调递增，进而可得结论．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d（d＞0），数列{b_n}的公比为q，
依题意，a_n=1+（n-1）d，b_n=1•q^n-1=q^n-1，
∵b₂S₂=6，b₃S₃=24，
∴（2+d）q=6，（3+3d）q²=24，
解得d=1、q=2或d=-$\frac{1}{2}$、q=4（舍），
∴a_n=1+（n-1）=n，b_n=1•2^n-1=2^n-1；
（II）结论：存在最小的实数t=$\frac{19}{4}$，使得$t＞{T_n}+\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$恒成立．
理由如下：
由（I）知${C_n}=\frac{n}{b_n}+\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+2}}}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n=$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{i}{{2}^{i-1}}$+$\frac{1}{2}$•$\sum_{i=1}^{n}$（$\frac{1}{i}$-$\frac{1}{i+2}$），
其中$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{i}{{2}^{i-1}}$是一个典型的错位相减法模型，解得$\sum_{i=1}^{n}$$\frac{i}{{2}^{i-1}}$=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，
$\sum_{i=1}^{n}$（$\frac{1}{i}$-$\frac{1}{i+2}$）是一个典型的裂项求和法模型，
$\sum_{i=1}^{n}$（$\frac{1}{i}$-$\frac{1}{i+2}$）=1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{n+1}$-$\frac{1}{n+2}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{（n+1）（n+2）}$，
∴T_n=4-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$+$\frac{1}{2}$[$\frac{3}{2}$-$\frac{2n+3}{（n+1）（n+2）}$]=$\frac{19}{4}$-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$，
∴T_n+$\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$=$\frac{19}{4}$-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，
记f（n）=$\frac{19}{4}$-$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$，则f（n+1）-f（n）=$\frac{19}{4}$-$\frac{n+3}{{2}^{n}}$-$\frac{19}{4}$+$\frac{n+2}{{2}^{n-1}}$=$\frac{n+1}{{2}^{n}}$＞0，
从而f（n）在定义域内单调递增，即f（n）＜$\frac{19}{4}$，
假设存在$t＞{T_n}+\frac{2n+3}{2（n+1）（n+2）}$恒成立，则t≥$\frac{19}{4}$，
即t的最小值为$\frac{19}{4}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．