Question

11．已知非零函数f（x）的定义域为R，对任意的x₁，x₂都满足f（x₁+x₂）=f（x₁）f（x₂） 当x＞0时，f（x）＞1
（1）判断f（x）的单调性并予以证明；
（2）若f（4cos²θ）•f（4sinθcosθ）=1，求θ的值；
（3）是否存在这样的实数m，当θ∈[0，$\frac{π}{2}$]时，使不等式f[cos²θ-（2+m）sinθ]•f（3+2m）＞1对所有的θ恒成立，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，结合当当x＞0时，f（x）＞1，可得f（x₁）＞f（x₂），进而根据函数单调性的定义，可得函数f（x）在R上的单调性．
（2）由（1）得f（0）=1，将方程进行转化解三角方程即可．
（3）先结合存在性问题的特点先假设存在m符合题意，然后将问题转化为恒成立的问题结合二次函数的特点即可获得问题的解答．

解答 解：（1）函数f（x）在R上是单调递增函数．
证明：令x₁=0，x₂=2，则f（x₂）＞1，
∴f（0+2）=f（0）f（2）=f（2），
则f（0）=1
∵当x＞0时，f（x）＞1
∴当x＜0，则-x＞0，
得f（x-x）=f（x）f（-x）=f（0）=1，
得$f（x）=\frac{1}{f（-x）}＞0$，
故对于任意x∈R，都有f（x）＞0，
设x₁，x₂∈R，且x₁＞x₂，
则x₁-x₂＞0，∴f（x₁-x₂）＞1，
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）f（x₂）＞f（x₂），
∴函数f（x）在R上是单调递增函数．
（2）由（1）知f（0）=1，
则f（4cos²θ）•f（4sinθcosθ）=1，等价为f（4cos²θ+4sinθcosθ）=f（0），
∵函数f（x）在R上是单调递增函数，
∴4cos²θ+4sinθcosθ=0，
即（cosθ+sinθ）cosθ=0，
即cosθ+sinθ=0或cosθ=0，
即cosθ=0或tanθ=-1，
即θ=kπ+$\frac{π}{2}$或θ=kπ-$\frac{π}{4}$，k∈Z．
（3）假设存在实数m，当θ∈[0，$\frac{π}{2}$]时，使不等式f[cos²θ-（2+m）sinθ]•f（3+2m）＞1对所有的θ恒成立，
即f[cos²θ-（2+m）sinθ+3+2m]＞f（0）恒成立，
∵函数f（x）在R上是单调递增函数，
∴cos²θ-（2+m）sinθ+3+2m＞0
令t=sinθ，则t∈[0，1]，
则不等式等价为-t²-（2+m）t+4+2m＞0在[0，1]上恒成立
令g（t）=-t²-（2+m）t+4+2m，则有$\left\{\begin{array}{l}{g（0）＞0}\\{g（1）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{4+2m＞0}\\{-1-2-m+4+2m=m+1＞0}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{m＞-2}\\{m＞-1}\end{array}\right.$，
解得m＞-1．

点评 本题考查的是函数的单调性证明问题．抽象函数的单调性的判定，以及赋值法的应用，在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、转化法以及赋值法等知识．考查学生的运算和推理能力，综合性较强，难度较大．