题目内容

3.已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,2Sn=nan+1(n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)已知ak,a2k,a3k+1(k∈N*)是等比数列{bn}的前3项,令Tn=$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{b}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$,求证:Tn<4.
(3)在(2)的条件下,若对任意的n∈N*,不等式λnbnTn+2Sn>4λnbn+12恒成立,求实数λ的取值范围.

分析 (1)通过2Sn=nan+1与2Sn+1=(n+1)an+2作差、整理$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{n+2}{n+1}$,利用累乘法计算即得结论;
(2)通过${{a}_{2k}}^{2}$=ak•a3k+1即16k2=2k•2(3k+1)计算可知数列{bn}的首项为b1=a1=2、公比为$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2的等比数列,从而$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$,利用错位相减法、放缩即得结论;
(3)通过(2)、化简可知λ<$\frac{12-2{S}_{n}}{n•{b}_{n}•({T}_{n}-4)}$=1-$\frac{n+6}{{n}^{2}+2n}$,问题转化为求$\frac{n+6}{{n}^{2}+2n}$的最小值,计算即得结论.

解答 (1)解:依题意,a2=2a1=4,
∵2Sn=nan+1
∴2Sn+1=(n+1)an+2
两式相减得:2an+1=(n+1)an+2-nan+1
整理得:$\frac{{a}_{n+2}}{{a}_{n+1}}$=$\frac{n+2}{n+1}$,
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{n}{n-1}$•$\frac{n-1}{n-2}$•…•$\frac{2}{1}$,
∴数列{an}的通项公式an=n•a1=2n;
(2)证明:∵ak,a2k,a3k+1是等比数列{bn}的前3项,
∴${{a}_{2k}}^{2}$=ak•a3k+1,即16k2=2k•2(3k+1),
整理得:k2=k,
解得:k=1或k=0(舍),
∴数列{bn}的首项为b1=a1=2、公比为$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}$=$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=2的等比数列,
∴bn=2•2n-1=2n
∴$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{2n}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n-1}}$,
∴Tn=$\frac{{a}_{1}}{{b}_{1}}$+$\frac{{a}_{2}}{{b}_{2}}$+$\frac{{a}_{3}}{{b}_{3}}$+…+$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=1•$\frac{1}{{2}^{0}}$+2•$\frac{1}{{2}^{1}}$+…+n•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$,
$\frac{1}{2}$Tn=1•$\frac{1}{{2}^{1}}$+2•$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+(n-1)•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$+n•$\frac{1}{{2}^{n}}$,
两式相减得:$\frac{1}{2}$Tn=$\frac{1}{{2}^{0}}$+$\frac{1}{{2}^{1}}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-n•$\frac{1}{{2}^{n}}$,
∴Tn=4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$<4;
(3)解:由(2)知Tn=4-$\frac{1}{{2}^{n-2}}$-$\frac{n}{{2}^{n-1}}$,
∵λnbnTn+2Sn>4λnbn+12,
∴λ<$\frac{12-2{S}_{n}}{n•{b}_{n}•({T}_{n}-4)}$
=$\frac{12-n•2(n+1)}{n•{2}^{n}•(-\frac{1}{{2}^{n-2}}-\frac{n}{{2}^{n-1}})}$=-$\frac{12-2n(n+1)}{n(4+2n)}$=$\frac{{n}^{2}+2n-(n+6)}{{n}^{2}+2n}$=1-$\frac{n+6}{{n}^{2}+2n}$,
显然$\frac{n+6}{{n}^{2}+2n}$随着n的增大而减小,且$\underset{lim}{n→∞}$$\frac{n+6}{{n}^{2}+2n}$=0,
∴λ<1,
∴实数λ的取值范围为:(-∞,1).

点评 本题考查数列的通项及前n项和,考查解不等式,考查运算求解能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

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