题目内容
【题目】如图，把两个全等的
和
分别置于平面直角坐标系中，使直角边
在
轴上，已知点
，过
两点的直线分别交
轴、
轴于点
. 抛物线
经过
三点.
（1）求该抛物线的函数解析式；
（2）点
为线段
上的一个动点，过点
作
轴的平行线交抛物线于点
，交
轴于点
，问是否存在这样的点，使得四边形
为等腰梯形？若存在，求出此时点
的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若
沿
方向平移（点
始终在线段
上，且不与点
重合），
在平移的过程中与
重叠部分的面积记为
，试探究
是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
；（2）
；（3）
．
【解析】
试题分析：（1）由抛物线经过点
即可根据待定系数法求得抛物线解析式；（2）首先分别作过点
分别作梯形
的高，将问题转化为
，然后设出点
的坐标，由此通过建立方程求得点
的坐标；（3）作
于
，设点
移动的水平距离为
，由此得到线段
的长度，从而通过解直角三角形得到
关于
的函数关系式，进而根据二次函数的性质即可求得结果．
试题解析：（1）将
分别代入
，
得
，解得：
，所以.
（2）如图1，过点分别作梯形的高
，如果梯形是等腰梯形，那么
因此，，
直线
的解析式为
，设点
的坐标为
，那么
.
解方程
，得
，
的几何意义是
与
重合，此时梯形不存在，所以.
（3）如图2，
与
重叠部分的形状是四边形
，作于，
设点移动的水平距离为，那么
，
，
在
中，
，所以
.
在
中，
，所以
，
所以
，
在
中，
；
在
中，
；
所以
.
因此
，所以
，
所以
.
于是
，
因为
，所以当
时，
取得最大值，最大值为.
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