题目内容
【题目】观察以下5个等式:
-1=-1
-1+3=2
-1+3-5=-3
-1+3-5+7=4
-1+3-5+7-9=-5
……
根据以上式子规律:
(1)写出第6个等式,并猜想第n个等式;(n∈N*)
(2)用数学归纳法证明上述所猜想的第n个等式成立.(n∈N*)
【答案】(1);(2)证明见解析.
【解析】
试题分析:(1)先写出第六个等式,再用归纳推理猜想出结论;(2)借助题设条件运用数学归纳法求解.
试题解析:
(1)第6个等式为-1+3-5+7-9+11=6
第n个等式为 -1+3-5+7-9+……+(-1)n(2n-1)=(-1)nn
(2)下面用数学归纳法给予证明:
-1+3-5+7-9+……+(2n-1)=
n
(1)当时,由已知得原式成立;
(2)假设当时,原式成立,
即-1+3-5+7-9+……+(-1)k (2k-1)=(-1)kk
那么,当时,
-1+3-5+7-9+……+(2k-1)+
(2k+1)=
k+
(2k+1)
=(-k+2k+1)
=(-1)k+1 (k+1)
故当时,原式也成立.
由(1)(2)可知:-1+3-5+7-9+……+(2n-1)=
n对n∈N*都成立。
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