Question

19．已知f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{2}$ax²-2x．
（1）若y=f（x）-g（x）在区间（$\frac{1}{3}$，1）上单调递减，求a的范围．
（2）若函数y=f（x）-g（x）在区间（$\frac{1}{3}$，1）上存在递减区间，求a的范围．
（3）若y=f（x）-g（x）的单调递增区间是（0，$\frac{1}{3}$），求a的范围．

Answer 1

分析 （1）化简y=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+2x，求导y′=$\frac{1}{x}$-ax+2=$\frac{-a{x}^{2}+2x+1}{x}$，从而化为-ax²+2x+1≤0在（$\frac{1}{3}$，1）上恒成立，从而化为最值问题；
（2）结合（1）可知只需使a＞$（\frac{1}{x}）^{2}$+2$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{3}$，1）上解，从而化为最值问题；
（3）由题意得$\frac{1}{3}$是方程-ax²+2x+1=0的解，从而解得a=15，再验证即可．

解答 解：（1）y=f（x）-g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+2x，
y′=$\frac{1}{x}$-ax+2=$\frac{-a{x}^{2}+2x+1}{x}$，
即-ax²+2x+1≤0在（$\frac{1}{3}$，1）上恒成立，
故a≥$（\frac{1}{x}）^{2}$+2×$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{3}$，1）上恒成立，
∵$\frac{1}{3}$＜x＜1，
∴3＜$（\frac{1}{x}）^{2}$+2$\frac{1}{x}$＜15，
∴a≥15；
（2）由（1）知，a＞$（\frac{1}{x}）^{2}$+2$\frac{1}{x}$在（$\frac{1}{3}$，1）上解，
结合（1）知，a＞3；
（3）∵y=f（x）-g（x）的单调递增区间是（0，$\frac{1}{3}$），
∴$\frac{1}{3}$是方程-ax²+2x+1=0的解，
解得，a=15，
当a=15时，y=f（x）-g（x）的单调递增区间是（0，$\frac{1}{3}$）成立，
故a=15．

点评 本题考查了解导数的综合应用及恒成立问题与存在性问题的处理方法．