题目内容
7.甲、乙两个乒乓球选手进行比赛,他们每一局获胜的概率均为$\frac{1}{2}$,且每局比赛互补影响,规定“七局四胜”,即先赢四局者胜,若已知甲先赢了前两局,求:(Ⅰ)乙取胜的概率;
(Ⅱ)设比赛局数为X,求X的分布列.
分析 (Ⅰ)当甲先胜了前两局时,乙取胜的性质有两种:第一种是乙连胜三局,第二种是在第三局到第六局,乙胜了三局,第七局乙胜,由此能求出甲先赢了前两局,乙取胜的概率.
(Ⅱ)由已知得X的可能取值为4,5,6,7,分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列.
解答 解:(Ⅰ)当甲先胜了前两局时,乙取胜的性质有两种:第一种是乙连胜三局,第二种是在第三局到第六局,乙胜了三局,第七局乙胜,
第一种情况下乙取胜的概率为:$(\frac{1}{2})^{4}$=$\frac{1}{16}$,
第二种情况下乙取值的概率为:${C}_{4}^{3}(\frac{1}{2})^{3}(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})$=$\frac{1}{8}$,
∴甲先赢了前两局,乙取胜的概率:
P=$\frac{1}{16}+\frac{1}{8}$=$\frac{3}{16}$.
(Ⅱ)由已知得X的可能取值为4,5,6,7,
P(X=4)=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$,
P(X=5)=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$,
P(X=6)=${C}_{2}^{1}(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})(\frac{1}{2})$=$\frac{1}{4}$,
P(X=7)=${C}_{4}^{1}(\frac{1}{2})^{4}(\frac{1}{2})+{C}_{4}^{3}(\frac{1}{2})^{4}(\frac{1}{2})$=$\frac{1}{4}$,
∴X的分布列为:
X | 4 | 5 | 6 | 7 |
P | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{4}$ |
点评 本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列的求法,是中档题,解题时要认真审题,在历年高考中都是必考题型之一.