题目内容
7．利用二重积分性质，估计二重积分的值：I=$\underset{∬}{D}$xydσ，D={（x，y）|x2+y2≤1，x≥0，y≥0}．分析 根据二重积分的中值定理，m≤I/σ≤M，其中m和M分别是f（x，y）在D上的最小值和最大值，设x=cosxa，y=sina，利用三角函数的有界性求f（x，y）的最值，从而得到I的范围．
解答 解：因为I=$\underset{∬}{D}$xydσ，D={（x，y）|x2+y2≤1，x≥0，y≥0}．
所以设x=cosa≥0，y=sina≥0，a∈[0，$\frac{π}{2}$]，所以xy=$\frac{1}{2}$sin2a，所以其最大值为$\frac{1}{2}$，最小值为0，又S（σ）=π，
所以I=$\underset{∬}{D}$xydσ∈[0，$\frac{π}{2}$]．
点评 本题考查了二重积分的中值定理的运用；关键是求出f（x，y）在D上的最小值和最大值．
练习册系列答案
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1．已知函数f（x）的图象是连续不断的，现给出x，f（x）的部分对应值如下表：
则函数f（x）一定有零点的区间是（ ）
| x | -2 | -1 | 1 | 2 | 3 |
| f（x） | -3 | -2 | 1 | 2 | 4 |
| A． | （1，2） | B． | （2，3） | C． | （-2，-1） | D． | （-1，1） |
2．已知函数f（x）=|lnx|-k有两个不同的零点a，b，则代数式|$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a-b}$|的最小值是（ ）
| A． | 8$\sqrt{2}$ | B． | 8 | C． | 4$\sqrt{2}$ | D． | 4 |
2．设函数f（x）=$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{2}$），若对任意x∈R都有f（x1）≥f（x）≥f（x2）成立，则|x1-x2|的最小值为（ ）
| A． | 6 | B． | 3 | C． | $\frac{3}{2}$ | D． | $\frac{3}{4}$ |
19．从6件正品与3件次品中任取3件，观察正品件数与次品件数，则下列事件既是互斥事件又是对立事件的是（ ）
| A． | “恰好有1件次品”和“恰好有2件次品” | |
| B． | “至少有1件次品”和“全是次品” | |
| C． | “至少有1件正品”和“至多有1件次品” | |
| D． | “至少有2件次品”和“至多有1件次品” |
16．用数归纳法证明当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除，k∈N*第二步是（ ）
| A． | 设n=2k+1时正确，再推n=2k+3正确 | |
| B． | 设n=2k-1时正确，再推n=2k+1时正确 | |
| C． | 设n=k时正确，再推n=k+2时正确 | |
| D． | 设n≤k（k≥1）正确，再推n=k+2时正确 |