题目内容

2.已知函数f(x)=|lnx|-k有两个不同的零点a,b,则代数式|$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a-b}$|的最小值是(  )
A.8$\sqrt{2}$B.8C.4$\sqrt{2}$D.4

分析 令f(x)=0,求出方程的两个根,代入代数式,结合基本不等式的性质,从而得到答案.

解答 解:令f(x)=|lnx|-k=0,则lnx=±k,
∴x=e±k,不妨设b=e-k,a=ek
∴|$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}+2}{a-b}$|=$|\frac{{e}^{2k}{+e}^{-2k}-2+4}{{e}^{k}{-e}^{-k}}|$
=|$\frac{{{(e}^{k}{-e}^{-k})}^{2}+4}{{e}^{k}{-e}^{-k}}$|=|(ek-e-k)+$\frac{4}{{e}^{k}{-e}^{-k}}$|
≥2$\sqrt{4}$=4,
当且仅当(ek-e-k2=4,即k=${e}^{1+\sqrt{3}}$时“=”成立,
故选:D.

点评 本题考查了函数的零点问题,考查基本不等式的性质,是一道基础题.

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