题目内容

6.已知四面体ABCD的棱长均为$\sqrt{2}$,则下列结论中错误的是(  )
A.AC⊥BD
B.若该四面体的各顶点在同一球面上,则该球的体积为3π
C.直线AB与平面BCD所成的角的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.该四面体的体积为$\frac{1}{3}$

分析 分别对A、B、C、D各个选项进行判断即可.

解答 解:对于A,如图②:
在等边三角形BCD中,BM为CD边上的高,再在四面体ABCD中,过A作AH⊥平面BCD于点H,
则H为底面正三角形BCD的重心,
∴DB⊥AH,BD垂直于过CH的直线,CH、AH交于H,
∴BD⊥平面ACH,
∴BD⊥AC,
故A正确;
对于选项B,如图①:

将四面体补成正方体,则正方体的棱长是1,
正方体的对角线长为:$\sqrt{3}$,
则此球的体积为:$\frac{4}{3}$π×($\frac{\sqrt{3}}{2}$)3=$\frac{\sqrt{3}}{2}$π,
故B错误;
对于选项C,如图②:

在等边三角形BCD中,BM为CD边上的高,再在四面体ABCD中,过A作AH⊥平面BCD于点H,
则H为底面正三角形BCD的重心,则∠ABH=α,就是AB在平面BCD所成角,
棱长为$\sqrt{2}$,由BM为CD边上的高,
则BM=$\frac{\sqrt{6}}{2}$,在Rt△ABH中,则BH=$\frac{2}{3}$BM
=$\frac{\sqrt{6}}{2}$×$\frac{2}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$,
∴cosα=$\frac{BH}{AB}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{3}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
故C正确;
对于D,如图②:
由选项C得:AH=$\sqrt{{AB}^{2}{-BH}^{2}}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$,
S△BCD=$\frac{1}{2}$×BM×DC=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{6}}{2}$×$\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$,
VA-BCD=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{1}{3}$,
故D正确;
故选:B.

点评 本题是中档题,考查空间想象能力,考查四面体的体积公式,选项B的判断较难,正四面体的外接球转化为正方体外接球,使得问题的难度得到降低,问题得到解决,注意正方体的对角线就是球的直径,也是比较重要的,选项D和选项C联合判断即可.

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