题目内容
【题目】在四棱锥中,底面
为平行四边形,平面
平面
,
是边长为4的等边三角形,
,
是
的中点.
(1)求证:;
(2)若直线与平面
所成角的正弦值为
,求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)由面面垂直的性质可得平面
.可得
,
,结合
得
平面
.由
,可得
,得到
平面
,从而可得结果;(2)根据直线
与平面
所成角的正弦值为
,可求得
,
,以
,
,
所在的直线分别为
,
,
轴,建立空间直角坐标系,利用向量垂直数量积为零列方程求出平面
的一个法向量,结合平面
的一个法向量为
,利用空间向量夹角余弦公式可得结果.
(1)因为是等边三角形,
是
的中点,
所以.
又平面平面
,平面
平面
,
平面
,
所以平面
.
所以,
又因为,
,
所以平面
.所以
.
又因为,所以
.
又且
,
平面
,所以
平面
.
所以.
(2)
由(1)得平面
.
所以就是直线
与平面
所成角.
因为直线与平面
所成角的正弦值为
,即
,所以
.
所以,解得
.则
.
由(1)得,
,
两两垂直,所以以
为原点,
,
,
所在的直线分别为
,
,
轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
则点,
,
,
,
所以,
.
令平面的法向量为
,则
由得
解得
令,可得平面
的一个法向量为
;
易知平面的一个法向量为
,
设平面与平面
所成的锐二面角的大小为
,则
.
所以平面与平面
所成的锐二面角的余弦值为
.
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