题目内容
【题目】已知.
(1)当时,若
恰有一个零点,求实数
的取值范围;
(2)当时,
恒成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)由解析式确定定义域,当时,表示此时的
表达式并求导,利用分类讨论参数a,进而分析零点情况;当
时,显然无零点,不符合题意;当
时,由零点的存在性定理可证得只有一个零点,符合题意;当
时,
在
单减,在
单增,进而只有一个零点即
,解得
,综上可得答案;
(2)令,
恒成立等价于
恒成立,进而利用分类讨论思想借助导数表示
,求得答案.
定义域:.
(1)当时,
,
.
①当时,
,
在
单增,
,∴
在
无零点;
②当时,
,
在
单增,又
,由
,
,
,∴
在
恰有一个零点;
③当时,
,
在
单减,在
单增,
要使在
恰有一个零点,则
,解得
综上所述,若恰有一个零点,则
或
,即实数
的范围是
.
(2)令,
,又
,要使
在
恒成立.
①当时,
在
单减,在
单增,虽然
,
但当时
,所以
在
恒成立不成立,
不合题意.
②当时,
在
恒成立,
在
单增,虽然
,
但当时
,所以
在
恒成立不成立,
不合题意.
③当时,
在
恒成立,
在
单减,所以要使
在
恒成立的充要条件是
,即
,解得
,故
.
综上所述,实数的范围是
,即实数
的范围
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期,我市教育局提出“停课不停学”的口号,鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系,对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷,其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人,余下的人中,在检测考试中数学平均成绩不足120分的占,统计成绩后得到如下
列联表:
分数不少于120分 | 分数不足120分 | 合计 | |
线上学习时间不少于5小时 | 4 | 19 | |
线上学习时间不足5小时 | |||
合计 | 45 |
(1)请完成上面列联表;并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”;
(2)①按照分层抽样的方法,在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生,设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是,求
的分布列(概率用组合数算式表示);
②若将频率视为概率,从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人,求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.
(下面的临界值表供参考)
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(参考公式其中
)
【题目】“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展.下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表:
年份 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
销量(万台) | 8 | 10 | 13 | 25 | 24 |
某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况,得到的部分数据如下表所示:
购置传统燃油车 | 购置新能源车 | 总计 | |
男性车主 | 6 | 24 | |
女性车主 | 2 | ||
总计 | 30 |
(1)求新能源乘用车的销量关于年份
的线性相关系数
,并判断
与
是否线性相关;
(2)请将上述列联表补充完整,并判断是否有
的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关;
(3)若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例,从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人,记选到女性车主的人数为X,求X的数学期望与方差.
参考公式:,
,其中
.
,若
,则可判断
与
线性相关.
附表:
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |