题目内容

【题目】为等差数列的公差,数列的前项和,满足),且,若实数),则称具有性质.

1)请判断是否具有性质,并说明理由;

2)设为数列的前项和,若是单调递增数列,求证:对任意的),实数都不具有性质

3)设是数列的前项和,若对任意的都具有性质,求所有满足条件的的值.

【答案】1不具有性质具有性质,理由见解析;(2)证明见解析;(3.

【解析】

1)求得,数列的前7,可得和首项,得到等差数列的通项,即可判断是否具有性质

2)由题意可得 ,代入等差数列的通项公式和求和公式,化简整理可得入 ,结合集合中元素的特点,即可得证;

3)求得的特点,结合 集合的特点,即可得到所求取值.

解:(1)由,

,得,

可得,

从而,

不具有性质,具有性质.

2,

因为数列单调递增,所以,即,

又数列单调递增,则数列的最小项为,

则对任意,都有,

故实数都不具有性质.

3)因为,所以,

两式相减得 ,

,

为偶数时,,即,此时为奇数;

为奇数时,,即,则,

此时为偶数;

,.

,

,

因为对于一切递增,所以,

所以 .

若对任意的,都具有性质,则,

,解得,又,则,

即所有满足条件的正整数的值为.

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