题目内容

【题目】已知椭圆的右焦点是抛物线的焦点,直线相交于不同的两点

1)求的方程;

2)若直线经过点,求的面积的最小值(为坐标原点)

3)已知点,直线经过点为线段的中点,求证:

【答案】(1);(2;(3)见解析

【解析】

1)由题意方程求出右焦点坐标,即抛物线焦点坐标,进一步可得抛物线方程;

2)设出直线方程,与抛物线方程联立,化为关于y的一元二次方程,利用根与系数的关系求得|y1y2|,代入三角形面积公式,利用二次函数求最值;

3)分直线AB的斜率存在与不存在,证明有,可得CACB,又D为线段AB的中点,则|AB|2|CD|

1)∵椭圆的右焦点为,∴ 的方程为

2)(解法1)显然直线的斜率不为零,设直线的方程为

,得,则

∴当,即直线垂直轴时,的面积取到最小值,最小值为

(解法2)若直线的斜率不存在,由,得

的面积

若直线的斜率存在,不妨设直线的方程为

,得,且

的面积的最小值为

3)(解法1)∵直线的斜率不可能为零,设直线方程为

,∴

,即

中,为斜边的中点,所以

(解法2)(前同解法1)/span>

线段的中点的坐标为

所以

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