题目内容
【题目】在平面直角坐标系中,定义为两点
、
的“切比雪夫距离”,又设点
及
上任意一点
,称
的最小值为点
到直线
的“切比雪夫距离”,记作
,给出四个命题,正确的是________.
①对任意三点、
、
,都有
;
② 到原点的“切比雪夫距离”等于的点的轨迹是正方形;
③ 已知点和直线
,则
;
④ 定点、
,动点
满足
,则点
的轨迹与直线
(
为常数)有且仅有
个公共点.
【答案】①②③④
【解析】
①讨论、
、
三点共线,以及不共线的情况,结合图象和新定义,即可判断;
②运用新定义,求得点的轨迹方程,即可判断;
③设点是直线
上一点,且点
,可得
,讨论
和
的大小,可得距离
,再由函数的性质,可得最小值;
④讨论点在坐标轴上和各个象限的情况,求得轨迹方程,即可判断.
①对任意三点、
、
,若它们共线,设
、
、
,
如下图,结合三角形相似可得或
,
或
,
或
,则
;
若、
或
、
对调,可得
;
若、
、
不共线,且
中
为锐角或钝角,由矩形
或矩形
,
;
则对任意的三点、
、
,都有
,命题①正确;
②到原点的“切比雪夫距离”等于的点,即为
,若
,则
;
若,则
,故所求轨迹是正方形,命题②正确;
③设点是直线
上一点,且
,可得
,
由,解得
,即有
.
当时,
取得最小值
;
由,解得
或
,即有
,
的取值范围是
,无最值,
所以,、
两点的“切比雪夫距离”的最小值为
,命题③正确;
④定点、
,动点
,满足
,
可得不在
上,
在线段
间成立,可得
,解得
.
由对称性可得也成立,即有两点
满足条件;
若在第一象限内,满足
,即为
,为射线,
由对称性可得在第二象限、第三象限和第四象限也有一条射线,
则点的轨迹与直线
(
为常数)有且仅有
个公共点,命题④正确.
故答案为:①②③④.
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【题目】如图,在三棱锥中,
,
,O为AC的中点.
(1)证明:平面ABC;
(2)若点M在棱BC上,且,求点C到平面POM的距离.
(3)若点M在棱BC上,且二面角为30°,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
【题目】某公司为了解广告投入对销售收益的影响,在若干地区各投入万元广告费用,并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图(如图所示).由于工作人员操作失误,横轴的数据丢失,但可以确定横轴是从
开始计数的. [附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.]
(1)根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度;
(2)试估计该公司投入万元广告费用之后,对应销售收益的平均值(以各组的区间中点值代表该组的取值);
(3)该公司按照类似的研究方法,测得另外一些数据,并整理得到下表:
广告投入 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销售收益 | 2 | 3 | 2 | 7 |
由表中的数据显示, 与
之间存在着线性相关关系,请将(2)的结果填入空白栏,并求出
关于
的回归直线方程.