题目内容
【题目】如图,四棱锥中,底面
为梯形,
底面
,
,
,
,
.
(1)求证:平面
平面
;
(2)设为
上的一点,满足
,若直线
与平面
所成角的正切值为
,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】试题分析:(I)由直角三角形可得,由线面垂直的性质可得
,从而可得
平面
进而可得结论;(II)以
点为坐标原点,
分别
轴建立空间直角坐标系,分别求出平面
与平面
的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果.
试题解析:(I)由,可得
,
又
从而,
底面
,
,
平面
所以平面
平面
.
(II)由(I)可知为
与底面
所成角.
所以,所以
又及
,可得
,
以点为坐标原点,
分别
轴建立空间直角坐标系,
则.
设平面的法向量
.
则由得
取
同理平面的法向量为
所以
又二面角为锐角.所以二面角
余弦值为
.
【方法点晴】本题主要考查利用空间垂直关系以及空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计,绘制了频率分布直方图(如图所示),规定80分及以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为100分).
晋级成功 | 晋级失败 | 合计 | |
男 | 16 | ||
女 | 50 | ||
合计 |
(Ⅰ)求图中的值;
(Ⅱ)根据已知条件完成下面列联表,并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关?
(Ⅲ)将频率视为概率,从本次考试的所有人员中,随机抽取4人进行约谈,记这4人中晋级失败的人数为,求
的分布列与数学期望
.
(参考公式:,其中
)
0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.780 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |