题目内容
【题目】已知函数.
(1)设,试讨论
单调性;
(2)设,当
时,任意
,存在
,使
,求实数
的取值范围.
【答案】(1)当时,
在
上是增函数,在
和
上是减函数;当
时,
在
上是减函数;当
时,
在
上是增函数,在
和
上是减函数;(2)
.
【解析】
试题(1)先求出的导数,
,然后在
的范围内讨论
的大小以确定
和
的解集;(2)
时,代入结合上问可知函数
在在
上是减函数,在
上是增函数,即在
取最小值,若
,存在
,使
,即存在
使得
.从而得出实数
的取值范围.注意
不能用基本不等式,因为
等号取不到,实际上
为减函数.所以其值域为
,从而
,即有
.
试题解析:(1)函数的定义域为
,
因为,所以
,
令,可得
,
,
2分
①当时,由
可得
,故此时函数
在
上是增函数.
同样可得在
和
上是减函数. 4分
②当时,
恒成立,故此时函数
在
上是减函数. 6分
③当时,由
可得
,故此时函数
在
上是增函数,
在和
上是减函数; 8分
(2)当时,由(1)可知
在
上是减函数,在
上是增函数,
所以对任意的,有
,
由条件存在,使
,所以
, 12分
即存在,使得
,
即在
时有解,
亦即在
时有解,
由于为减函数,故其值域为
,
从而,即有
,所以实数
的取值范围是
. 16分
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