题目内容

2.已知命题p:?x∈[1,2],$\sqrt{3}$x2-a≥0,命题q:?x∈[1,3],使x2-2ax+2=0,若命题p∧q是真命题,求实数a的取值范围.

分析 根据二次函数的最值,一元二次方程解的情况即可求出命题p,q下a的取值范围,再根据p∧q为真命题得到p,q都为真命题,所以对前面所求a的取值范围求交集即可.

解答 解:命题p:若?x∈[1,2],$\sqrt{3}$x2-a≥0,
只需a≤$\sqrt{3}$x2,x∈[1,2]
y=x2在[1,2]上的最小值为1,∴a≤$\sqrt{3}$;
命题q:?x∈[1,3],使x2-2ax+2=0,
即方程x2-2ax+2=0在[1,3]上有解,
即2ax=x2+2在[1,3]有解,
即y=2ax和y=x2+2在[1,3]有交点,
画出函数y=2ax和y=x2+2的图象,如图示:

显然A(1,3),B(3,11),
当a<0时:两个函数图象无交点,
a>0时:当y=2ax过A(1,3)时:a=$\frac{3}{2}$,
当y=2ax过B(3,11)时:a=$\frac{11}{6}$,
∴$\frac{3}{2}$≤a≤$\frac{11}{6}$时函数图象有交点,
即:?x∈[1,3],使x2-2ax+2=0成立,
若命题p∧q是真命题,则p,q都是真命题;
∴$\frac{3}{2}$≤a≤$\sqrt{3}$.

点评 本题考查了充分必要条件,考查二次函数的性质以及p∧q的真假和p,q真假的关系.

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