题目内容

14.已知sinα=2cosα,求下列各式的值.
(1)sin2α一2cos2α
(2)sin2α+sinαcosα+3.

分析 (1)由题意可得tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=2,而sin2α一2cos2α=$\frac{si{n}^{2}α-2co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$=$\frac{ta{n}^{2}α-2}{ta{n}^{2}α+1}$,代值计算可得;
(2)sin2α+sinαcosα+3=$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$+3=$\frac{ta{n}^{2}α+tanα}{ta{n}^{2}α+1}$+3,代值计算可得.

解答 解:(1)∵sinα=2cosα,∴tanα=$\frac{sinα}{cosα}$=2,
∴sin2α一2cos2α=$\frac{si{n}^{2}α-2co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$
=$\frac{ta{n}^{2}α-2}{ta{n}^{2}α+1}$=$\frac{{2}^{2}-2}{{2}^{2}+1}$=$\frac{2}{5}$;
(2)sin2α+sinαcosα+3
=$\frac{si{n}^{2}α+sinαcosα}{si{n}^{2}α+co{s}^{2}α}$+3
=$\frac{ta{n}^{2}α+tanα}{ta{n}^{2}α+1}$+3
=$\frac{{2}^{2}+2}{{2}^{2}+1}$+3=$\frac{21}{5}$

点评 本题考查同角三角函数基本关系,弦化切是解决问题的关键,属基础题.

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