题目内容
3.已知数列{an}中,Sn为其前n项和,且a1≠a2,当n∈N+时,恒有Sn=pnan(p为常数).(Ⅰ)求常数p的值;
(Ⅱ)当a2=2时,求数列{an}的通项公式;
(Ⅲ)设bn=$\frac{4}{{({a_n}+2){a_{n+1}}}}$,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn<$\frac{7}{4}$.
分析 (Ⅰ)当n=1时,a1=S1,可得p=1或a1=0,舍去p=1,通过n=2,求得p;
(Ⅱ)通过当n=1时,a1=S1,n>1时,an=Sn-Sn-1,化简整理,即可得到通项;
(Ⅲ)化简bn,并由放缩法,结合裂项相消求和,即可得证.
解答 解:(Ⅰ)当n=1时,a1=S1,∴a1=pa1,⇒p=1或a1=0,
当p=1时,Sn=nan则有S2=2a2?a1+a2=2a2?a1=a2与已知矛盾,
∴p≠1,只有a1=0.
当n=2时,由S2=2pa2?a1+a2=2pa2,∵a1=0又a1≠a2∴a2≠0
∴$p=\frac{1}{2}$;
(Ⅱ)∵a2=2,${S_n}=\frac{1}{2}n{a_n}$,
当n>2时,${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{n}{2}{a_n}-\frac{n-1}{2}{a_{n-1}}$,
即$(n-2){a_n}=(n-1){a_{n-1}}?\frac{a_n}{n-1}=\frac{{{a_{n-1}}}}{n-2}$,
∴$\frac{a_n}{n-1}=\frac{a_2}{1}?{a_n}=2n-2$,
当n=1时,a1=2×1-2=0也适合.
∴an=2n-2.
(Ⅲ)证明:${b_n}=\frac{4}{{({a_n}+2){a_{n+1}}}}=\frac{1}{n^2}<\frac{1}{(n-1)n}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$,
当n=1,2时,显然成立,
当n≥3时有${T_n}<1+\frac{1}{4}+({\frac{1}{2}-\frac{1}{3}})+…+({\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}})=\frac{7}{4}-\frac{1}{n}<\frac{7}{4}$.
点评 本题考查数列的通项和求和的关系,同时考查不等式的证明方法:放缩法,及裂项相消求和,考查运算能力,属于中档题.
A. | 随$|\overrightarrow a|$增大而增大 | B. | 随$|\overrightarrow a|$增大而减小 | C. | 是2 | D. | 是4 |
A. | $\frac{2}{5}$ | B. | $\frac{4}{5}$ | C. | $\frac{2}{3}$ | D. | $\frac{4}{3}$ |