题目内容

18.在△ABC中,若$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{tanA}{tanB}$,则△ABC为(  )
A.直角三角形B.等腰三角形
C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形

分析 由正弦定理得$\frac{si{n}^{2}A}{si{n}^{2}B}$=$\frac{tanA}{tanB}$,求得sinAcosA=sinBcosB,进而可知sin2A=sin2B,又因为A,B为三角形内角,所以2A=2B或2A+2B=180°即A=B或A+B=90°,最后判断出三角形的形状.

解答 解:∵$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{tanA}{tanB}$,
由正弦定理得$\frac{si{n}^{2}A}{si{n}^{2}B}$=$\frac{tanA}{tanB}$,即$\frac{sinA}{sinB}$=$\frac{cosA}{cosB}$,
∴sinAcosA=sinBcosB,
∴sin2A=sin2B,
又∵A,B为三角形内角,
∴2A=2B或2A+2B=180°即A=B或A+B=90°,
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形,
故选:D.

点评 本题主要考查了正弦定理,三角形内角和定理、诱导公式的应用.注意对通过边角问题的变化来解决解三角形问题.

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