题目内容
7.对于函数f(x),若满足f(x0)=x0,则称x0为f(x)的不动点.现有函数g(x)=ex+x2-t(t∈R),记h(x)=g(g(x)),若存在m∈[0,1]为h(x)的不动点,则t的取值范围是( )A. | [0,1] | B. | [1,e] | C. | [1,1+e] | D. | [e,e+1] |
分析 由不动点的定义即可得到g(m)=m,从而可得到t=em+m2-m,可将该式看成关于m的函数,通过求导可以判断该函数在[0,1]上单调递增,从而t∈[t(0),t(1)]=[1,e],这样即可找到正确选项.
解答 解:根据条件:g(g(m))=m;
∴g(m)=m;
即em+m2-t=m;
∴t=em+m2-m,t′=em+2m-1;
∵m∈[0,1];
∴em≥1;
∴t′≥0;
∴函数t=em+m2-m在m∈[0,1]上是增函数;
m=0时,t=1,m=1时,t=e;
∴1≤t≤e;
∴t的取值范围是[1,e].
故选:B.
点评 考查对不动点定义的理解,由g(g(m))=m能得到g(m)=m,根据导数符号判断函数单调性的方法,以及函数单调性定义的运用.
练习册系列答案
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17.已知函数 f(x)=ex-ax-1(a∈R).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数F(x)=f(x)-$\frac{1}{2}{x^2}$在[1,2]上有且仅有一个零点,求a的取值范围.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数F(x)=f(x)-$\frac{1}{2}{x^2}$在[1,2]上有且仅有一个零点,求a的取值范围.
18.在△ABC中,若$\frac{{a}^{2}}{{b}^{2}}$=$\frac{tanA}{tanB}$,则△ABC为( )
A. | 直角三角形 | B. | 等腰三角形 | ||
C. | 等腰直角三角形 | D. | 等腰三角形或直角三角形 |