题目内容
【题目】【河北省衡水中学2017届高三上学期五调】已知椭圆
，圆
的圆心
在椭圆
上，点
到椭圆
的右焦点的距离为
.
（1）求椭圆
的方程；
（2）过点
作互相垂直的两条直线
，且
交椭圆
于
两点，直线
交圆
于
两点，且
为
的中点，求
面积的取值范围.
【答案】(1) 
；(2) 
.
【解析】
试题分析：(1)由
可得
，由
在椭圆
上可得
，又
解方程组求出
的值即可；（2）由题意可得
的斜率不为零，当垂直
轴时，
的面积为
，当当不垂直轴时，设直线的方程为：
，从而可写出直线
的方程为：
，联立方程组
由根与系数关系得
，求出弦长
及
点到
的距离等于
点到的距离，从而求出三角形面积表达式
，
，可得
，由二次函数知识可求其面积.
试题解析： （Ⅰ）因为椭圆的右焦点
，…………1分
在椭圆上，
，…………2分
由
得
，所以椭圆的方程为.…………4分
（Ⅱ）由题意可得的斜率不为零，当垂直轴时，的面积为，…………5分
当不垂直轴时，设直线的方程为：，则直线的方程为：，由消去
得
，所以，…………7分
则
，………………8分
又圆心
到
的距离
得
，…………9分
又
，所以点到的距离等于点到的距离，设为
，即
，………………10分
所以
面积
，…………11分
令，则
，
综上，面积的取值范围为.…………12分
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