题目内容

【题目】设数列{an}满足a1+a2+…+an+2n= (an+1+1),n∈N* , 且a1=1,求证:
(1)数列{an+2n}是等比数列;
(2)求数列{an}的前n项和Sn

【答案】
(1)

证明:∵a1+a2+…+an+2n= (an+1+1),

∴当n≥2时,a1+a2+…+an1+2n1= (an+1),

∴an+2n1=

化为an+1=3an+2n

变形为:an+1+2n+1=3

∴数列{an+2n}是等比数列,首项为3,公比为3


(2)

解:由(1)可得:an+2n=3n

∴an=3n﹣2n

∴数列{an}的前n项和Sn= = ﹣2n+1+


【解析】(1)利用递推关系、等比数列的通项公式即可得出;(2)利用等比数列的前n项和公式即可得出.
【考点精析】认真审题,首先需要了解等比关系的确定(等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断),还要掌握数列的前n项和(数列{an}的前n项和sn与通项an的关系)的相关知识才是答题的关键.

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