题目内容
【题目】已知函数,
.
(1)若函数是奇函数,求实数
的值;
(2)在在(1)的条件下,判断函数与函数
的图像公共点个数,并说明理由;
(3)当时,函数
的图象始终在函数
的图象上方,求实数
的取值范围.
【答案】(1)1;(2)答案见解析;(3).
【解析】分析:(1)因为为奇函数,所以对于定义域内任意
,都有
,结合等式成立的条件整理计算可得
.
(2)由(1)知,则
,函数的定义域
,原问题等价于
在定义域
上的解的个数.结合函数的单调性和函数零点存在定理可知函数
与函数
的图象有2个公共点.
(3)原问题等价于在
上恒成立,利用换元法,令
,则
在
恒成立.令
,
.结合二次函数的性质分类讨论可得
的取值范围是
.
详解:(1)因为为奇函数,所以对于定义域内任意
,都有
,
即,
∴,
显然,由于奇函数定义域关于原点对称,所以必有
.
上面等式左右两边同时乘以得:
,
化简得:,
上式对定义域内任意恒成立,所以必有
,
解得.
(2)由(1)知,所以
,即
,
由得
或
,
所以函数定义域
,
由题意,要求方程解的个数,即求方程:
在定义域
上的解的个数.
令,显然
在区间
和
均单调递增,
又,
,
且,
,
所以函数在区间
和
上各有一个零点,
即方程在定义域
上有2个解,
所以函数与函数
的图象有2个公共点.
(3)要使时,函数
的图象始终在函数
的图象的上方,
必须使在
上恒成立,
令,则
,上式整理得
在
恒成立.
令,
.
① 当,即
时,
在
上单调递增,
所以,恒成立;
②当,即
时,
在
上单调递减,
只需,解得
与
矛盾;
③当,即
时,
在
上单调递减,在
上单调递增,
所以由,解得
,
又,所以
.
综合①②③得的取值范围是
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某百货公司1~6月份的销售量与利润的统计数据如表:
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
销售量x/万件 | 10 | 11 | 13 | 12 | 8 | 6 |
利润y/万元 | 22 | 25 | 29 | 26 | 16 | 12 |
(1)根据2~5月份的统计数据,求出y关于x的回归直线方程x+
;
(2)若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过2万元,则认为得到的回归直线方程是理想的,试问所得回归直线方程是否理想?